今日做习题集—吉米多维奇的《数学分析习题集》,其中有如下题目:证明$e$是无理数.很早以前就在书中看到过,$e$和$\pi$不但是无理数,而且还是超越数,却一直不知道其证法.

显然,证明一个数是无理数,最常用的方法是反证法(原因在于我们更了解有理数,对于无理数所知甚少),但是对于数$e$,由于它的定义是用极限等式:$e=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{(1+1/x)^x}$,采用反证法恐怕有些难度,但我至今还没有遇到过其他方法来证明一个数是无理数.

已经知道的关于$e$的信息有:

\begin{gather*}e = \lim_{n \rightarrow \infty}{(1 + \frac{1}{n})^n} = \lim_{n \rightarrow \infty}{(1 + \frac{1}{n})^{n+1}}=\lim_{n \rightarrow \infty}{(1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!})}\\e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \frac{\theta_n}{n!n} \quad 0 < \theta_n < 1\\e = 2.718\cdots\end{gather*}

反证:假设$e = \frac{q}{p} + 2$为有理数,$(p,q)=1$.于是

\begin{gather*}\frac{q}{p}+2 = \lim_{n \rightarrow \infty}{(1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!})} \\\frac{q}{p} = \lim_{n \rightarrow \infty}{(\frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!})}\\q = \lim_{n \rightarrow \infty}{(\frac{p}{2!} + \cdots + \frac{p}{n!})}\end{gather*}

于是需要证明$\lim_{n \rightarrow \infty}{(\frac{p}{2!} + \cdots + \frac{p}{n!})}$是一个整数,这已经比原来的进了一步,因为我们对于整数的认识比无理数早得多,也深刻得多.然而一个分数序列的极限可能是整数,无疑的,在这儿又遇上一个难题.令$k! \le p <(k+1)!$.

我们曾经证明$A_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$不是整数,$n \ge 2$,当时采用的方法是乘以$n!$.我们可以类似的,对于本题,仅乘以$p$不足以讨论,而乘以$p!$则会简单的多.另外证明它不是整数,应该估计其大小.

\[(p-1)!q =p!(\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}+\cdots + \frac{1}{n!} + \cdots)=M+\frac{1}{p+1} + \frac{1}{(p+1)(p+2)} + \cdots \]

又$p \ge 2$,故

\[\frac{1}{p+1} + \frac{1}{(p+1)(p+2)} + \cdots < \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n} + \cdots = \frac{1/3}{1 – 1/3} = \frac{1}{2}\]

由此左边是整数,而右边不是整数,矛盾,获证.

上述证法来自《What is Mathematics?》.

备注:其实利用前面的一个等式

\[e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \frac{\theta_n}{n!n} \quad 0 < \theta_n < 1\]

能够很快得到矛盾.