在拓扑学及实变函数论等课程中均有点集的有关概念,但各自的定义却略有不同,因而有必要去弄清其合理性.下面给出各自定义(定义分别来自江泽涵的《拓扑学引论》和那汤松的《实函数论》).
1.内点及开集
定义1.1
设$A$是度量空间$X$的一个子集.如果$A$的每一点都有一个球形邻域$\subset A$,则$A$叫做$X$的开集.
如果$A$的一点$a$有一球形邻域$\subset A$,则点$a$叫做$A$的在$X$中的一个内点,$A$的在$X$中的内点的全体,叫做$A$的在$X$中的内部,记作$\text{Int}A$.
定义1.2
对于一点$x_0$,假如$E$中有一个区间$(\alpha,\beta)$含有$x_0$,称$x_0$是$E$之一内点.此时$x_0 \in (\alpha,\beta) \subset E$.
$E$的点都是它的内点的时候,称$E$是一开集.
显然,内点的定义两者是一致的.(注:定义1.1比1.2更一般,因为讨论的空间更一般.)关于开集的定义,我们证明两者是一致的.
(I)设$A$是按定义1.1的开集,则$\forall x \in A$,都有一个球形邻域$U(x) \subset A$,因而$x$是$A$的内点,由$x$的任意性,知$A$中的点都是它的内点,因而$A$也是按定义1.2的开集.
(II)设$E$是按定义1.2的开集.则$\forall x \in E$,$x$是$E$的内点,从而$E$中有$(\alpha,\beta)$含有$x$,由$x$的任意性知$E$是按1.1定义的开集.
注记:$E$中有$(\alpha,\beta)$含有$x$,则必$\exists \delta$,$(x-\delta,x+\delta) \subset (\alpha,\beta)$.
2.聚点,极限点,闭集,闭包等.
定义2.1
度量空间$X$的一个子集$A$叫做$X$的闭集,如果$A$在$X$中的余集$X-A$是$X$的开集.
设$A$是度量空间$X$的一个子集,而且点$x \in X$,如果$x$的在$X$中的每一球形邻域都包含$A-\{x\}$的一个点,则$x$叫做$A$的在$X$中的一个聚点.$A$与它的在$X$中的全体聚点的并集,叫做$A$的在$X$中的闭包,记作$\bar{A}$.
设$X$是一个度量空间,设$\{x_n\}$是$X$中的一个点序列,$a$是$X$的一点,如果对于$a$的每一个球形邻域$U(a,\epsilon)$,存在一个自然数$N$,使得$x_n \in U(a, \epsilon)$,对于所有$n>N$,点$a$叫做这序列的一个极限点,或者说这序列收敛于,收敛到点$a$.
定义2.2
设$E$是一点集,$x_0$是一点,如任何区间含有$x_0$的除$x_0$而外至少还含有$E$的一点的话,称$x_0$为$E$的一个极限点.
设$E$是一点集,$x_0$是一点,假如$E$有点列$\{x_n\}$,($x_n \neq x_0$,当$m \neq n$时,$x_m \neq x_n$)收敛于$x_0$,称$x_0$是$E$的一个极限点.
设$E$为一点集,
(1)$E$的所有极限点所成之集称为$E$的导集,记为$E’$.
(2)如果$E’ \subset E$,则称$E$为闭集;
(3)如果$E \subset E’$,在称$E$为自密集;
(4)如果$E=E’$,则称$E$为完全集;
(5)点集$E \cup E’$称为$E$的包,而以$\bar{E}$记之.
显然根据定义,聚点和极限点是一致的.
定义2.3
考虑点集$E$,若平面上一点$z_0$(不必属于$E$)的任意邻域都有$E$的无穷多个点,则称$z_0$为$E$的聚点或极限点;若$z_0$属于$E$,但非$E$的聚点,则称$z_0$为$E$的孤立点;若点集$E$的每个聚点皆属于$E$,则称$E$为闭集.
下面给出三者关于闭集的定义的一致性的证明.(先给出定义2.1与2.3关于聚点的定义是一致的)
显然若$x$是按定义2.3的聚点,则也满足定义2.1;若$x$是按定义2.1的聚点,则$x$的每一球形邻域$U(x,\epsilon)$都含有$A-\{x\}$的一个点,则当$\epsilon'<\epsilon$时,$U(x,\epsilon’)$也有$A-\{x\}$的一个点$y$,显然,$\epsilon’$是无限多个,故$y$有无限多个,且$y \in U(x,\epsilon’) \subset U(x, \epsilon)$,故$x$的每一球形邻域有$A$中无数个点,满足定义2.3.
(I)若$A$是按定义2.1的闭集,则$X-A$是开集,$\forall x \notin A$,则$x \in X-A$,从而有一$x$的邻域$U(x) \subset X-A$,因而$U(x)\cap A=\emptyset$,因此$x$不是$A$的聚点,即$x \notin A’$(导集),由此可得$A’ \subset A$,$A$为按定义2.2的闭集.
(II)定义2.2与2.3是一致的,若$E$是按定义2.2的闭集,则满足$E’ \subset E$,$\forall x \notin E$,$x \in X-E$,$x \notin E’$,因而对于$x$,存在一个邻域$U(x)$,在其中它不含$E-\{x\}=E$的一个点,因而$U(x) \subset X-E$,故$x$是$X-E$的内殿,由$x$的任意性,$X-E$是开集,故$E$是按定义2.1的闭集.
3.一些概念之间的联系.
(1)$E’$为闭集;(2)$\bar{A}$为闭集;(3)自密集是不含孤立点的集;(4)$\text{Int}$为开集.