《数学分析》的基本内容是微积分学,而微积分是建立在极限理论之上的,极限理论又需要实数理论.因而先从实数理论入手.

阿基米德有序域

(1)$F$是域,在$F$中定义加法”+”与乘法”$\cdot$”两个运算.$\forall a,b,c \in F$,有

(i)加法和乘法结合律:$(a+b)+c=a+(b+c)$,$(a\cdot{}b)\cdot{}c=a\cdot(b\cdot{}c)$;

(ii)加法和乘法交换律:$a+b=b+a$,$a\cdot{}b=b\cdot{}a$;

(iii)乘法关于加法的分配律:$a\cdot(b+c)=a\cdot{}b+a\cdot{}c$;

(iv)$\exists 0 \in F$,使得$a+0=a$,$\exists -a \in F$,使得$a + (-a) = 0$;

(v)$\exists e \in F$,使得$a\cdot{}e = a$,$\exists a^{-1} \in F$,使得$a^{-1}\cdot{}a=e$,$a \neq 0$.

(2)$F$是有序域.在$F$中定义序关系”<“,有如下(全序)关系:

(i)传递性:$\forall a,b,c$,$a<b$,$b<c$,则有$a<c$;

(ii)三歧性:$a<b$,$a=b$,$a>b$必居其一,且只居其一;这里$a<b \Leftrightarrow b>a$.

(iii)加法保序性:$a<b$,$\forall c \in F$,有$a+c<b+c$;

(iv)乘法保序性:$a<b$及$c>0$,则有$ac<bc$.

(3)$F$中元素满足阿基米德性:$\forall a,b>0$,$\exists n \in N$,使得$na>b$.

显然有理数满足上述各性质,因而有理数域是阿基米德有序域.然而,有理数域是不完备的.”$\sqrt{2}$”的出现,引起数学史上的第一次危机(不可公度).我们早就接受了无理数,然而却不清楚它的运算性质是否与有理数的运算性质相符.微积分的出现,需要我们建立严密的实数理论,于是有了戴德金的分划说,康托尔的基本列说,区间套说等.这里不准备去复习这些(注:可以参考Landou的《分析基础》).而只是复习一下实数理论的六个基本定理(或者公理):1:确界原理;2:数列的单调有界原理;3:柯西收敛准则;4:区间套定理;5:聚点定理;6:有限覆盖定理.

1.有界性:对于给定的数集$E$.若$\exists M$,使$\forall x\in E$,有$x \le M$,则称$M$为$E$的上界.若$\exists m$,$\forall x \in E$,$x>m$,则称$m$为$E$的下界.若$\forall x \in E$,$|x|<M$,则称$E$有界.

在所有的上界中,最小的一个上界称为上确界,记为$\sup{E}$.

在所有的下界中,最大的一个下界称为下确界,记为$\inf{E}$.

更精确的定义为:(1)$\forall x \in E$,$x<a$,(2)$\forall \epsilon>0$,$\exists x_0 \in E$,$x_0>a-\epsilon$.则$a=\sup{E}$.

确界原理:一个数集$E$若上有界(下有界),则必有上确界(下确界).

对于上确界的情形给出证明(构造法):

选择$a_0 \in Z$,使得$a_0+1$是$E$的上界,但$a_0$不是其上界.这总是存在的.再选择$a_1$,使得$a_0.(a_1+1)$是$E$的上界,但$a_0.a_1$不是其上界,…,选择$a_n$,使得$a_0.a_1a_2\cdots(a_n+1)$是$E$的上界,但$a_0.a_1a_2\cdots{}a_n$不是其上界,如此继续,令$a=a_0.a_1a_2\cdots{}a_n\cdots$,则可证$a$是$E$的上确界.

2.数列的单调有界原理:单调有界的数列收敛.可用(1)证明.

3.柯西收敛准则:数列$\{x_n\}$收敛,等价于$\forall \epsilon>0$,$\exists N \in Z^+$,当$m,n>N$时,$|x_m-x_n|<\epsilon$.

4.区间套定理:

区间套:闭区间列$\{[a_n,b_n]\}$有如下性质:(1)$[a_n,b_n] \supset[a_{n+1},b_{n+1}]$.(2)$\lim_{n \rightarrow \infty}{(b_n-a_n)}=0$.则称$\{[a_n,b_n]\}$为区间套.

存在唯一的一点$\xi$,使得$\xi \in [a_n,b_n]$,$n=1,2,\cdots$.可用(2)证明.

5.聚点定理:点集的概念在以前已遇到过,这里只列一下聚点的定义.$S$是直线上的点集,$\xi$是一定点.若$\xi$的任何邻域内含有$S$的无限多个点,则称$\xi$是$S$的聚点.

Weierstrass聚点定理:直线上的有界无限点集$S$至少有一个聚点.

该定理对于数列而言为:有界数列必有一收敛的子数列.可用(1)证明.

6.$S$为直线上点集,$H$是一个开区间集,若$S$中任何一点都含在$H$中至少一个开区间内,则称$H$为$S$的一个开覆盖,或$H$覆盖$S$.若$H$中的开区间的个数无限,则称$H$为$S$的一个无限开覆盖,若$H$中的开区间的个数有限,则称$H$为$S$的一个有限开覆盖.

Heine-Borel有限覆盖定理:设$[a,b]$是一个闭区间,$H$为$[a,b]$的一个开覆盖,则在$H$中比存在有限个开区间,它构成$[a,b]$上的一个开覆盖.

3的证明:

\begin{gather*}[\alpha_1,\beta_1]=[a_{N_1}-\frac{1}{2},a_{N_1}+\frac{1}{2}],\\{}[\alpha_2,\beta_2] = [a_{N_2}-\frac{1}{2^2},a_{N_2}+\frac{1}{2^2}] \cap [\alpha_1,\beta_1],\\…,\\{}[\alpha_n,\beta_n] = [a_{N_n}-\frac{1}{2^n},a_{N_n}+\frac{1}{2^n}] \cap [\alpha_{n-1},\beta_{n-1}],\\…\end{gather*}

构成一区间套.

5的证明:有界,设界为$M$,则$[-M,M]$中必有一半含有无限多个点,取这一半,再平分,如此可得区间套.

6的证明:反证法,用(4).

注:可以参考陶哲轩的《实分析》.