$F$是定义在$[0,1]$上的一切实函数的集合,$U=[0,1]$,证明$F$与$U$不对等.

分析(证明见那汤松的《实函数论》):

1.一个命题,与其逆否命题是等价的(这也是反证法的理论依据),因而对于一个命题,可以用命题本身及逆否命题两个方面来考虑.

2.对于一个命题,尽可能地用多种解释去解释它,对解题本身是有益的.在这里”用多种解释”也可理解为”换几种数学语言”.到现在为止,数学语言极其丰富,代数,分析,几何等各有其独特的研究方法.

对于本题,结论以否定形式给出,一般来说是考虑反证法.假设$F \sim U$,既然涉及到了对等,自然要用它的定义了,于是$F$与$U$存在一一对应.到了这里,我们为什么不把它更具体一些呢?令$U$中的$t$对应到$F$中的$f_t(x)$.另一方面,我们知道一一对应是一种函数关系,看来$f_t(x)$同时也是$t$的函数,这样一来$f_t(x)$是关于$t$,$x$($t,x \in [0,1]$)的函数.为什么不把它记得更普遍些呢?令$F(t,x)=f_t(x)$,这个更一般,我们把它特殊化,令$t = x$,那么有$F(x,x)=f_x(x)$,这无疑是一个相当特殊的函数,而$F(x,x)$定义在$[0,1]$上,看来$F(x,x)$也是$F$中的元素,更一般的$F(x,x)+c$($c$为常数)均为$F$中的元素.在这里,特殊的取$c=1$,那么$F(x,x)+1$应对应于一$f_t(x)$,由此,$F(x,x)+1=F(t,x)$,令$x=t$,则有$1=0$,这是一个矛盾,原命题成立.