推广或普遍化是数学中常用的方法,下面是学到过的一些典型的抽象推广过程.

1.在欧几里得空间中,距离是一个比较重要的概念,那么怎样把距离推广到一半的线性空间中去呢?为此我们注意一下距离的一些基本特征:(1)$d(x,y) \ge 0$,当且仅当$x=y$时$d(x,y)=0$;(2)$d(x,y)=d(y,x)$;(3)三角不等式$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$.这些都是距离的基本特征,为了推广到向量空间,我们用他们做公理来定义向量空间中的”距离”—内积.

内积的定义:设$V$是实向量空间,对于$V$中任意两向量$\alpha$,$\beta$,有一实数与之对应,记为$(\alpha,\beta)$.且满足:

(i)$(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$;

(ii)$(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)$, $k \in R$;

(iii)$(\alpha_1+\alpha_2,\beta)=(\alpha_1,\beta)+(\alpha_2,\beta)$;

(iv)$(\alpha,\alpha) \ge 0$,当且仅当$\alpha=0$时,$(\alpha,\alpha)=0$.

2.有关闭包算子的定义.先考察闭包的基本性质:(i)空集为闭集,故空集的闭包为空集;(2)任何集都包含在它的闭包内;(3)因为每一个集的闭包皆为闭集,故任何集的闭包的闭包与该集的闭包相同;(4)两个集的并的闭包恰为闭包的并.由此引出闭包算子的定义:

所谓$X$上的闭包算子,就是这样一个算子,它变$X$的每一个子集$A$为$X$的子集$A^c$,且满足:

(i)$\emptyset$为空集,则$\emptyset^c=\emptyset$;

(ii)$A \subset A^c$;

(iii)$(A^c)^c=A^c$;

(iv)$(A \cup B)^c=A^c \cup B^c$.

其他如开集,闭集,范数,测度等概念无一不是用这种方法建立的,其一般思路是:从特殊的,比较常见的现象中加以抽象,归纳,从而推广到更一般的空间中去.