《世界著名科学家传记—数学家V》中有这样一段:

18世纪40年代,欧拉首先研究了与椭圆模函数有关的函数,$\prod_{k=1}^{\infty}{(1-x^k)}$在整数分析理论中的应用,1750年,欧拉用归纳法证明了公式:

\begin{gather}\prod_{k=1}^{\infty}{(1-x^k)=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-\cdots}\end{gather}

他没有考虑这个无穷乘积的收敛性问题,欧拉还同时考虑了公式

\begin{gather}\sigma(n)=\sigma(n-1)+\sigma(n-2)-\sigma(n-5)-\sigma(n-7)+\sigma(n-12)+\cdots\end{gather}

的正确性,欧拉对小于300的所有整数$n$验证了(2)的正确性,并指出它可由(1)式得出.

华林在其《代数沉思录》中也对(2)式给出与欧拉同样的证明,此后,他还改用有限乘积$\sum_{k=1}^{n}{(x^k-1)}$对应的恒等式.

\[\sum_{k=1}^{n}{(x^k-1)} = x^b-x^{b-1}-x^{b-2}+x^{b-5}+x^{b-7}-\cdots\]

来代替(1),这就避开(1)式中无穷乘积的收敛性问题,其中$b=n(n+1)/2$,对每个$v \le n$,$x^{b-v}$项前的系数当$v=(3z^2 \pm z)/2$时等于$(-1)^z$,而当$v$不是所给形状时,等于0.由此再利用多项式的系数与根的幂和的牛顿恒等式即推出(2)式,此外,华林还进一步得出如下公式:

\[\begin{aligned}1 &- \frac{m(m-1)}{2}\sigma(2) + \frac{m(m-1)(m-2)}{3}\sigma(3)-\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{4}\sigma(4)+\cdots\\&+\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{2 \cdot 2^2}{\sigma(2)}^2 + \cdots = c \cdot m!\end{aligned}\]

其中$c=\pm 1$或$0$是(3)中$x^{b-m}$的系数m华林的思想还可以导出除数函数的其他推广的公式.

下面试着做一下:

\[\begin{aligned}(1-x)(1-x^2)&=1-x-x^2+x^3 \\(1-x)(1-x^2)(1-x^3)&=(1-x-x^2+x^3)(1-x^3)\\&=1-x-x^2+x^4+x^5-x^6 \\(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)&=(1-x-x^2+x^4+x^5-x^6)(1-x^4)\\&=1-x-x^2+2x^5-x^8-x^9+x^{10}\\&\cdots\end{aligned}\]

$\sigma(n)$的定义为:$n$的所有正因子的和,而这恰为$(1-x^{p_1})\cdots(1-x^{p_k})$这一乘积的最高项的指数.$p_k$为$n$的正因子.

1 2 5 7 12 15 22 26 …

1 3 2 5 3  7  4  9  …

这一段话极有价值,必须加以深入分析研究,总结出欧拉,华林等人的思想.这里先要告一段落.