问题2012072101

If $f(x)$ satisfies the functional equation
$$f(x + y) = f(x) + f(y)$$
for all values of $x$ and $y$, find the values of $f(x)$ for rational values of $x$ and prove if $f(x)$ is continuous that $f(x) = cx$ where $c$ is a constant.

来源

Introduction to Calculus and Analysis

分析

这里的证明思路是比较典型的. 从自然数到整数，然后到有理数, 最后根据连续性到无理数.

解答

令$x=y=0$, 则有$f(0) = 2f(0)$, 于是$f(0) = 0$, 对于任意的正整数$n$, 容易证明$f(n) = nf(1)$, 使用归纳法即可. 至于负整数, $f(0) = f(n) + f(-n)$, $f(-n) = -f(n) = -nf(1)$. 对于有理数$\frac{p}{q}$, $q > 0$,
$$qf(\frac{p}{q}) = f(q\frac{p}{q}) = f(p) = pf(1)$$
因此有$\frac{p}{q} = \frac{p}{q}f(1)$.
至于无理数$x_0$来说, 存在有理数列$x_0$, 使得$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{x_n} = x_0$, 由于$f(x)$连续, 因此
$$f(x_0) = \lim_{n \rightarrow \infty}{f(x_n)} = \lim_{n \rightarrow \infty}{x_nf(1)} = x_0f(1).$$
根据上面的讨论可以知道对于任意的实数$x$, 都有$f(x) = xf(1)$, 令$c = f(1)$, 即有$f(x) = cx$.

问题2012072102

(a) If $f(x) = x^n$, find a $\delta$ which may depend on $\xi$ such that
$$|f(x) – f(\xi)| < \epsilon$$
whenever
$$|x – \xi| < \delta.$$

(b) Do the same if $f(x)$ is any polynomial
$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,$$
where $a_n \neq 0$.

来源

Introduction to Calculus and Analysis

分析

这道题目用于熟悉$\epsilon-\delta$方法。

解答

(a)首先假设$|x – \xi| < 1$, 于是$|x| < 1 + |\xi|$,
$$\begin{aligned}|x^n – \xi^n| &= |x – \xi||x^{n-1} + x^{n-2}\xi + \cdots + x\xi^{n-2} + \xi^{n-1}| \\& \le n(|\xi| + 1)^{n-1}|x – \xi|\end{aligned}$$
取$\delta = \min\{1, \frac{\epsilon}{n(1 + |\xi|)^{n-1}} \}$即可.

(b)同(a), 首先假设$|x – \xi| < 1$, 于是
$$\begin{aligned}|f(x) – f(\xi)| &= |\sum_{i=1}^{n}{a_i(x^i – \xi^i)}| \\& \le \sum_{i=1}^{n}{i|a_i|(|\xi| + 1)^{i-1}}|x – \xi| \\& \le \sum_{i=1}^{n}{iA(|\xi| + 1)^{i-1}}|x – \xi| \\& = \frac{A(1 – (n+1)(1 + |\xi|)^n + n(1 + |\xi|)^{n+1})}{(|\xi|)^2}|x – \xi|\end{aligned}$$
取$\delta = \min\{1, \frac{\epsilon|\xi|^2}{A(1 – (n+1)(1 + |\xi|)^n + n(1 + |\xi|)^{n+1})} \}$即可. 这里$A = \max\{|a_1|, |a_2|, \cdots, |a_n| \}$.
如果觉得这个式子太复杂, 可以考虑在上面放缩过程中在增大一些.

中间有一个多月没有做题了，真是遗憾，没有坚持下来。