在物理中,忽略次要因素,抓住主要因素,这一思想方法是经常用到的,在数学中同样会用到.下面几个例子是比较突出的.
1.有界函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是:对任给正数$\epsilon$,$\eta$,存在某一分割$T$,使得属于$T$的所有振幅$\omega_i’ \ge \eta$的小区间长度$\Delta_i’$的总长不超过$\epsilon$.
这里振幅$\omega_i’ \ge \eta$的小区间,由于总长度不超过$\epsilon$,故可以忽略掉,于是
\[\sum{\omega_i\Delta_i} \rightarrow 0,\]
这所谓此消彼长.
这里的分组思想是典型的,正是上述思想的应用.
(1)$f$是$R$可积的,$|\sum{\omega_i\Delta_i}|<\eta\epsilon$,$\sum{\omega_i\Delta_i}<\eta\epsilon$,
\[\begin{aligned}&\sum_{\omega_i \ge \eta}{\omega_i\Delta_i} + \sum_{\omega_i<\eta}{\omega_i\Delta_i} < \eta\epsilon.\\\Rightarrow &\sum_{\omega_i \ge \eta}{\omega_i\Delta_i} \le \eta\epsilon \\\Rightarrow &\sum_{\omega_i \ge \eta}{\Delta_i} \le \epsilon\end{aligned}\]
(2)\[\sum_{\omega_i \ge \eta}{\omega_i\Delta_i} + \sum_{\omega_i<\eta}{\omega_i\Delta_i} < W\epsilon + K\eta \]
可以任意小.
2.设$m(E)<\infty$,$E$上可测函数列$\{f_n(x)\}$满足条件:
\[|f_n(x)| \le g(x), \quad x \in E, n \in N,\]
而$g$可积,又设$f_n$依测度收敛于$f$,那么$f$可积.且
\[\int_{E}{f(x)dm} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\int_{E}{f_n(x)dm}}.\]
这是Lebesgue控制收敛定理,这里的一个主要的步骤还是分类,它的依据是$f_n$依测度收敛于$f$.
设$f_n(x)$是可测集$E$上的可测函数列,$f(x)$是$E$上的可测函数,如果对每个$\epsilon>0$有,
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{m(E(|f_n – f| \ge \epsilon))} = 0,\]
则称$f_n$依测度收敛于$f$.
分类:(1)$E(|f_n – f| \ge \epsilon)$;(2)$E(|f_n-f|<\epsilon)$.
证明见教材.
3.(伯恩斯坦定理)若$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续,则对于$x$一致有
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{B_n(x)}=f(x).\]
这里$B_n(x)=\sum_{k=0}^{n}{f(\frac{k}{n})C_n^kx^k(1-x)^{n-k}}$称为$f(x)$的伯恩斯坦多项式.
\[B_n(x)-f(x) = \sum_{k=0}^{n}{(f(\frac{k}{n})-f(x))C_n^kx^k(1-x)^{n-k}}\]
把$k=0,1,2,\cdots,n$分为两组:$\Gamma_n(x)$,$\Delta_n(x)$.
\[\begin{aligned}k \in \Gamma_n(x), &\quad |\frac{k}{n} – x| < \delta,\\k \in \Delta_n(x), &\quad |\frac{k}{n} – x| \ge \delta.\end{aligned}\]
与此相应的把和式分成两组:$\sum_{\Gamma}$和$\sum_{\Delta}$.
这里分类的依据是:当$|\frac{k}{n} – x| \ge \delta$时
\[\sum_{k \in \Delta_n(x)}{C_n^kx^k(1-x)^{n-k}} \le \frac{1}{4n\delta^2},\]
即$k \in \Delta_n(x)$中的部分值可以略去,几乎没有影响.而$|\frac{k}{n} – x| < \delta$时,由于$f(x)$在$[0,1]$上一致连续,$f(\frac{k}{n})$与$f(x)$可以认为相同,由此便可得到证明思路.
以上三个例较为突出,由此可见,这种分类方法在逼近论中会起较为重要的作用,另外,对于逼近论中的瓦勒布然定理也会用到这种分类方法,其证明见那汤松的《函数构造论》.
注:关于不等式
\[\sum_{k \in \Delta_n(x)}{C_n^kx^k(1-x)^{n-k}} \le \frac{1}{4n\delta^2},\]
这里说明如下:
\[\begin{aligned}\sum_{k \in \Delta_n(x)}{C_n^kx^k(1-x)^{n-k}} &\le \sum_{k \in \Delta_n(x)}{\frac{(\frac{k}{n}-x)^2}{\delta^2}C_n^kx^k(1-x)^{n-k}} \\&=\frac{1}{n^2\delta^2}\sum_{k \in \Delta_n(x)}{(k-nx)^2C_n^kx^k(1-x)^{n-k}} \\&\le\frac{1}{n^2\delta^2}\sum_{k=0}^{n}{(k-nx)^2C_n^kx^k(1-x)^{n-k}} \\&=\frac{1}{n^2\delta^2}[nx(1-x)] = \frac{x(1-x)}{n\delta^2}\end{aligned}\]
然后估计后面的不等式即可.