我们先来看一个证明:
设$E$是一个$n$维赋范线性空间,$\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$为$E$的一个基底,则存在正数$M$及$M’$,使得对一切$x \in \sum_{k=1}^{n}{\xi_ke_k} \in E$,下列不等式成立:
\[M\Vert{x}\Vert \le (\sum_{k=1}^{n}{|\xi_k|^2})^{1/2} \le M’\Vert{x}\Vert.\]
证明:$\forall x \in E$,有
\[\begin{aligned}\Vert{x}\Vert &= \Vert{\sum_{k=1}^{n}{\xi_ke_k}}\Vert \le \sum_{k=1}^{n}{\Vert{e_k}\Vert\vert{\xi_k}\vert}\\&\le(\sum_{k=1}^{n}{\Vert{e_k}\Vert^2})^{1/2}(\sum_{k=1}^{n}{\vert{\xi_k}\vert^2})^{1/2}\\&=m(\sum{\vert{\xi_k}\vert^2})^{1/2}\end{aligned}\]
这里$m=(\sum{\Vert{e_k}\Vert^2})^{1/2}$.这里使用了Holder不等式.
任取$y \in \sum{\eta_ke_k} \in E$,
\[\Vert{x-y}\Vert \le m(\sum_{k=1}^{n}{\vert{\xi_k-\eta_k}\vert^2})^{1/2},\]
由此得到
\[\vert{\Vert{x}\Vert-\Vert{y}\Vert}\vert \le m(\sum_{k=1}^{n}{\vert{\xi_k-\eta_k}\vert^2})^{1/2}.\]
将$(\xi_1,\cdots,\xi_n)$看成$R^n$中的点,则$\Vert{x}\Vert$作为$(\xi_1,\cdots,\xi_n) \in R^n$的函数是连续的,令$f(\xi_1,\cdots,\xi_n) = \Vert{x}\Vert$.并在$R^n$中的单位球面$S:(\sum{\vert{\xi_k}\vert^2})^{1/2}=1$上考虑函数$f(\xi_1,\cdots,\xi_n)$.由于$e_1,\cdots,e_n$线性无关,并注意到$S$是$R^n$中的有界闭集(紧集).且不含零元素,故非负函数$f(\xi_1,\cdots,\xi_n)$在$S$中的任一点处都不为0,从而$S$上有正的下确界$m’$,即
\[f(\xi_1,\cdots,\xi_n) \ge m’\]
也就是$\Vert{x}\Vert \ge m’$.
$\forall x \in E$,令$x’ = x/(\sum{\vert{\xi_k}\vert^2})^{1/2}$,则$\Vert{x’}\Vert \ge m’$,故
\[\Vert{x}=(\sum{\vert{\xi_k}\vert^2})^{1/2}\Vert{x’}\Vert \ge m'(\sum{\vert{\xi_k}\vert^2})^{1/2}.\]
注意这里第二步的证明:它取了$R^n$中的单位球面$S$来考虑函数$f(x)$,这样做,不仅因为$S$的有界闭集这一性质,保证了$f(x)$的有界性,而且由于同胚的原因,使之能够向$R^n$推广,即用
\[x’ = x/(\sum{\vert{\xi_k}\vert^2})^{1/2}\]
对两者作了联系.这就给了我们一种思想方法.在代数中有同构,同态,在拓扑中有同胚等一系列概念.在这一些概念下,都有一些性质保持不变.比如说空间$S_1$同胚于$S_2$,(有时记为$S_1 \sim S_2$),则$S_1$与$S_2$空间中的开集,闭集,邻域等内容是一致的,只要研究了$S_1$的这些性质,在同胚映射$T$作用下,这些性质保持不变,因而也就研究了$S_2$的性质.这样有可能使我们去研究一些较特殊的空间,从而推广到另外一些空间中去.同样的,同构保持了代数运算的不变性.其他类似的概念还有等距同构等概念,或者更一般的,我们去寻找变化之中的某些不变的性质,使我们能加以利用.在几何中,也有这样的例子.在几何变换中,有许多东西是不变的,于是,如果某道几何题目,要求我们去证明一个事实,例如关于角度关系,于是可以考虑平移变换等,因为在平移变换中,角度关系保持不变,这样有可能使问题变到一种特殊情形,使问题简化.至于例子,将在下面给出.
例子:通过三角形每个顶点引两条直线,分三角形的对边为三个相等部分,证明有这些直线形成的六边形的相对顶点的对角线交于一点.
分析:考虑到线性变换是相互单值的,相交直线的交点一定变为相交直线的交点,又因为任意三角形可通过线性变换变作正三角形,且能保持平行线段长度之比,所以只须对正三角形证明结论成立就行了.而这对于正三角形,几乎是显然的.
在这里,该命题涉及到了线段的比例关系,而线性变换下,这一关系保持不变,即所谓”不动”,因此我们只考虑正三角形即可.
下面有一个更明显的问题(在上例中,比例关系不是明显的).
例子:在底为$AD$和$BC$的梯形$ABCD$中,过点$B$引平行于边$CD$的直线交$AC$于$P$,过$C$作平行于边$AB$的直线交$BD$于$Q$,证明直线$PQ$平行于梯形的底.
分析:利用线性变换把一般梯形变为特殊梯形,将使结论变得显然.为此,设梯形的对角线交点为$E$,考虑变$\triangle{EAD}$为等腰三角形$E’A’D’$的线性变换$L$,在变换$L$下,梯形$ABCD$变为等腰梯形$A’B’C’D’$,$A’D’$的中垂线是它的对称轴,此时,点$P’$与点$Q’$关于这条轴对称,因而$P’Q’\parallel{}A’D’$,等腰梯形$A’B’C’D’$经逆变换$L^{-1}$,仍变为原来的梯形,由于逆变换也是线性变换,保平行性,所以$PQ\parallel{}AD$.
以上例子引自《数学奥林匹克的理论,方法,技巧》(下册).