可测函数是比连续函数更广泛的函数类,是积分理论的基础.
可测函数可以用两种方式加以定义,一种是用测度论的方式定义:即$E(f>a)$恒可测;另一种是用函数逼近的方法来定义:$\Phi_n(x)$是可测集$E$上的简单函数,且$\Phi_n(x) \le \Phi_{n+1}(x)$,$f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty}{\Phi_n(x)}$称为可测函数.在第一种定义中,$E(f>a)$可用下述条件代替(1)$E(f \ge a)$,(2)$E(f<a)$;(3)$E(\alpha<f<\beta)$且$E(f=\infty)$.同时这里应该注意一些集合运算等式:$E(f \ge a) = \bigcup_{1}^{\infty}{E(f \ge a + \frac{1}{n})}$等.
许多时候总是先考虑非负可测函数,这时引进$f_+(x)$及$f_-(x)$.
\[f_+(x)=\sup{(f(x), 0)}, f_-(x)=\sup(-f(x), 0).\]
知道了可测函数的定义,有必要了解可测函数的性质.运用第二个定义,很容易就知道可测函数的和,差,积,商均为可测函数,运用第一个定义,及$E(\sup{f_n(x)} > a)=\bigcup{E(f_n \ge a)}$及$E(\inf{f_n(x)} \le a)=\bigcap{E(f_n \le a)}$,可知$\varliminf{f_n(x)}$及$\varlimsup{f_n(x)}$均可测,因而可测函数列的极限函数是可测函数(由此即可知简单函数列的极限为可测函数).
在可测函数中,有三个极为重要的定理:叶果洛夫定理,黎茨定理,鲁金定理.其中叶果洛夫定理和黎茨定理把可测函数列的几种收敛概念加以联系,而鲁金定理则涉及到可测函数的构造,即用连续函数来逼近可测函数.下面分别说明之.
叶果洛夫定理是指:设$E$是可测集,$\{f_n(x)\}$与$f(x)$是有限可测函数,$f_n(x)$几乎处处收敛于$f(x)$,则$\forall \delta>0$,存在可测集$E_{\delta}$,使$\{f_n(x)\}$在$E_{\delta}$上一致收敛于$f(x)$,且$m(E-E_{\delta})<\delta$.这个定理刻画了几乎处处收敛与一致收敛之间的关系.下面寻求证明的思路:我们知道$f_n(x)=x^n$在$(0,1)$上不是一致收敛于$0$,但是在$(0,\delta)$($0<\delta<1$任意)上却一致收敛于0,即挖去一个小区间$[\delta,1)$.同样的,对于叶果洛夫定理,我们也想办法挖去一些小区间,而使得挖去以后,函数列一致收敛.由于不收敛的点集的测度为0, 因而我们完全可以不加考虑,而按照我们的意愿而加以改变,但我们挖小区间却要在这些不收敛的点附近.这在$f_n(x)=x^n$上也可找到来源,因为$x=1$时,$f_n(x)$不收敛于0,由于我们要在不收敛点附近挖区间,我们有必要把不收敛点表示出来.
\[D = \bigcup_{i=1}^{\infty}\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}{E[|f_k(x)-f(x)| \ge \epsilon_i]},\]
其中$\epsilon_1>\epsilon_2>\cdots\rightarrow 0$.
可以证明$D$表示了所有$f_n(x)$不收敛点,从而$m(D)=0$.于是
\[m[\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}{E(|f_k(x)-f(x)| \ge \epsilon_i)}]=0.\]
令
\[R_i = \bigcup_{n=n_i}^{\infty}{E(|f_n(x)-f(x)| \ge \epsilon_i)},\]
那么
\[\lim_{i \rightarrow \infty}{\bigcup_{n=n_i}^{\infty}{E(|f_n(x)-f(x)| \ge \epsilon_i)}}=0,\]
$\forall \delta>0$,$R=\bigcup{R_i}$,
\[R_i = \bigcup_{n=n_i}^{\infty}{E(|f_n(x)-f(x)| \ge \epsilon_i)},\]
$R=\bigcup_{i=1}^{\infty}{R_i}$.这里包含了所有的不收敛点及不一致收敛点.且
\[\lim_{i \rightarrow \infty}{m(R_i)}=0,\]
从而可以用任何$\delta$来表示$m(R)$,后面部分省略.
值得注意的是$m(E)<\infty$这个条件不能去掉.
黎茨定理:在黎茨定理之前,先要引进依测度收敛的定义.
定义:设$f_n(x)$是可测函数列(可测集$E$上),$f(x)$是$E$上可测函数,如果对每个$\epsilon>0$,有
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{m(E(|f_n-f| \ge \epsilon))} = 0,\]
则称$f_n$依测度收敛于$f$.
从定义可知:(1)几乎处处收敛$\rightarrow$依测度收敛,但依测度收敛不蕴含几乎处处收敛.(2)$E(|f_n-f|\ge\epsilon)$给我们一个提示,把集合分解.
黎茨定理给出几乎处处收敛与依测度收敛的关系:设$M(E)<\infty$,则可测函数列$f_n(x)$在$E$上依测度收敛于$f(x)$的充要条件是:对序列$\{f_n(x)\}$的任何子列$\{f_{n_k}(x)\}$都存在子列$\{f_{n_{k_i}}(x)\}$,几乎处处收敛于$f(x)$.
命题的证明分必要性和充分性两部分.下面先看必要性的证明:(1)$f_n\stackrel{m}{\longrightarrow}f$,则它的任何子列$f_{n_k}\stackrel{m}{\longrightarrow}f$,从而只需证明$\{f_n(x)\}$有几乎处处收敛的子列.(2)依测度收敛的定义中出现了极限,从而我们运用极限的定义有:$\forall \epsilon>0$,对每个$k \in N$,存在$n_k$,使
\[mE(|f_{n_k}-f| \ge 1/2^k) < 1/2^k,\]
并且可以假定$n_1<n_2<\cdots$,$E_k= E(|f_{n_k}-f|\ge 1/2^k)$,$R_n=\bigcup_{k=n}^{\infty}{E_k}$,于是$m(\varlimsup{E_n})=0$,在$E – \varlimsup{E_n}$上$f_{n_k}\rightarrow f$.
至于充分性的证明,由于我们除了定义之外,没有其他方法来判断依测度收敛,因此我们使用反证法.$f_n$不依测度收敛于$f$,$\exists \epsilon>0$,$m(E(|f_n-f|\ge\epsilon))\rightarrow 0$,因此有子列$\{f_{n_k}\}$满足
\[\lim_{k \rightarrow \infty}{m(E(|f_{n_k}-f| \ge \epsilon))}\]
存在且不为0,此式表明子列$\{f_{n_k}\}$的任何子列$\{f_{n_{k_i}}\}$均不可能几乎处处收敛于$f$,否则,由叶果洛夫定理,$\{f_{n_{k_i}}\}$将要近一致收敛于$f$,从而$f_{n_{k_i}}\stackrel{m}{\longrightarrow}f$,
\[\lim_{i\rightarrow\infty}{m(E(|f_{n_{k_i}}-f|\ge\epsilon))}=0,\]
矛盾.
这里用到了上述由定义推出的性质(1).
附:$f_n\stackrel{m}{\longrightarrow}f$,$g_n\stackrel{m}{\longrightarrow}g$,则
\begin{gather*}af_n+bg_n\stackrel{m}{\longrightarrow}af+bg\\\vert{f_n}\vert\stackrel{m}{\longrightarrow}\vert{f}\vert \\\sup(f_n,g_n)\stackrel{m}{\longrightarrow}\sup(f,g)\\\inf(f_n,g_n)\stackrel{m}{\longrightarrow}\inf(f,g).\end{gather*}
$E(|af_n+bg_n-af-bg|\ge\epsilon)\subset E(|a||f_n-f|\ge\epsilon/2) \cup E(|b||g_n-g|\ge\epsilon/2)$.
依测度收敛在对等的意义下唯一.
鲁金定理:用连续函数来逼近可测函数.
设$f(x)$是有界可测集$E$上几乎处处有限的可测函数,则对任意的$\epsilon>0$,存在闭集$F \subset E$,$m(E-F)<\epsilon$,而$f(x)$限制在$F$上是连续的.
其实这里$E$有界这一条件可以去掉,只需对$k \in Z$,令$E_k=E\cap(k,k+1)$.这个结论对于简单函数是简单的,只需用区间把不连续的端点去掉.至于一般可测函数,$f(x)=f_+(x)-f_-(x)$,我们只需对非负可测函数讨论.
$f(x)=\lim{f_n(x)}$,这里$f_n(x)$是简单函数.对每个$f_n(x)$,存在闭集$F_n\subset E$,$m(E-F_n)<\epsilon/2^{n+1}$,$F_0=\bigcap{F_n}$,则$F_0$为闭集.$F \subset F_0$,在$F$上$f_n(x)$一致收敛于$f$,(叶果洛夫定理),$m(F_0-F)<\epsilon/2$,$E-F \subset (E-F_0) \cup (F_0-F)$,由此可得结论.
鲁金定理的另一形式:设$f(x)$是有界可测集$E$上几乎处处有限的可测函数,则对任意$\epsilon>0$,存在实直线上连续函数$g(x)$,满足$m(E(f \neq g))<\epsilon$.(如果$f(x)$是有界可测函数$|f(x)| \le M$,$g(x)$也可要求$|g(x)|\le M$)
这里不讨论证明,只说明$g(x)$的构造,由上一定理,在闭集$F$上$f(x)$可连续,$G=F^c=\bigcup{(\alpha_k,\beta_k)}$,令$g(x)=f(x)$,$x \in F$,在$x \in G$时,用线性函数连接端点$f(\alpha_k)$,$f(\beta_k)$即可.$F^c$表示$F$的补集.