柯朗和约翰的《微积分和数学分析引论》的读书笔记.

微积分的基本概念是微分(导数)和积分:导数是对于变化速率的一种度量,积分是对于连续变化过程总效果的度量.正确理解这些概念以及由此产生的大量丰富成果,有赖于对极限概念和函数概念的认识,而极限和函数的概念,又基于对数的连续统的了解.在长期的历史中,人们创造了自然数,而后创造了有理数,乃至无理数,从而构成了实数连续统.数的概念向连续统的概念的扩充是如此自然而令人信服,以致所有早期的大数学家和科学家都毫无疑义地予以采用,直到十九世纪,数学家们才感到必须为实数系寻求一个比较可靠的逻辑基础.

在自然数系里,加法和乘法运算总是可行的,然而其逆运算—减法和除法却并不总是可行的,为了使这些运算不受限制,我们不得不发明负数和分数来扩充数的概念,所有这些数统称为有理数,有理数全都可以由1经过”有理运算”即加法,减法,乘法和除法而得到.有理数从可以得到$\frac{p}{q}$的形式,这里$p$和$q$是整数,且$q \neq 0$,有理数通常可用L—数轴—上的点来表示,反过来,对于数轴上的每一点$P$,我们都能够求得一些有理点,可以任意接近$P$.这件事可以用一句话来表达:有理点在数轴上是稠密的.这表明任何两个不同的有理点$a$和$b$之间,存在着另外无穷多个有理点,一个简单的构造方法是取$a$和$b$的中点$c=\frac{a+b}{2}$,如此连续不断可得到无穷多个有理点.粗看起来,似乎是只要引入有理数,用数来确定点$P$的位置这个任务便完成.然而,不可通约量的出现,使人们不得不再一次扩充数系,一个简单的例子便是$\sqrt{2}$,它不可能用$\frac{p}{q}$的形式来表达,即它不是有理数,这个结论的证明是反证法的一个经典例子.于是实数系便形成了,但是,对于实数的运算并不是不证自明.在数学史上,戴德金证明了:实数系(作为线段的长度或按其他方式定义的一些符号)对于科学度量来说是一种谐调而完备的工具,并且在实数系中,有理数的运算法则仍然有效.

我们该怎样描述一个无理数呢?一个可行的方法是通过越来越精确的有利近似值数列来描述数值$x$,特别是,我们从左右两边同时逼近$x$,其精确度逐次增高.为此,我们引入区间套序列的概念,于是数轴L上每一个点,即每一个实数,能够由无穷多个有理数来准确地描述,其逆命题并不是显而易见的,它被作为一个基本公理来接受,这是一个连续性公理:这个公理保证数轴上没有空隙存在.

区间套公理:如果$I_1,I_2,\cdots$是一个具有有利端点的区间套序列,则存在一个点$x$包含于所有的$I_n$之中.

我们有许多其他表达方式可以来代替这个公理,对于这个公理有一点值得注意,它提供了实数的一种描述方法,比如我们可以借助于区间套序列来规定实数的无限十进小数表示,同样的,这一思想方法对于确界原理的论证极为有用的,对于数项级数中的黎曼定理的证明也是一样有用的,因此,对于实数构造方面的命题,应首先想一下区间套序列.

不等式在高等数学中所起的作用要比初等数学中大得多.在这里只提一下几个重要不等式:
(1)$\vert{a+b}\vert\le\vert{a}\vert+\vert{b}\vert$;
(2)柯西-希瓦茨不等式
\[(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2\le(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2).\]
我们要多注意一下不等式的几何意义.